Животноводческая ферма имеет возможность закупать корма 4

Задача 3. Механический завод при изготовлении двух типов деталей использует токарное, фрезерное и сварочное оборудование. При этом обработку каждой детали можно вести двумя различными технологическими способами. Полезный фонд времени работы каждой группы оборудования (в станко-часах), нормы расхода времени при обработке детали на соответствующем оборудовании по данному технологическому способу и прибыль от выпуска единицы деталей каждого вида даны в таблице.

Детали I II Ресурсы Технологические времени 1 2 1 способы Токарное 2 2 3 – Фрезерное 3 1 1 2 Сварочное – 1 1 4 Прибыль 11 6 9 Составить оптимальный план «загрузки оборудования», обеспечивающий заводу максимальную прибыль.

Задача 4. Предприятие может выпускать продукцию по трём технологическим способам. При этом за 1 час по 1-му способу оно выпускает единиц продукции, по 2-му – 25 единиц и по 3-му – 30 единиц продукции.

Количество производственных ресурсов, расходуемых за час при различных способах производства, и наличный объем ресурсов приведены в таблице.

Оборудование Факторы Парк Рабочая Транс- Прочие Сырьё Энергия Способ станков сила порт расходы производства I 2 3 7 2 1 II 1 4 3 1 0 III 3 2 4 3 1 Располагаемые ре60 80 70 50 40 сурсы факторов Спланировать работу предприятия из условия получения максимума выпуска продукции, если известно, что общее время работы предприятия составляет 30 часов.

Задача 5. Предприятие располагает тремя видами ресурсов: А, Б, В – в количествах, равных соответственно 34, 16, 22 тыс. единиц. Существует четыре способа производства продукции. Расход каждого вида ресурсов в течение месяца по каждому способу производства известен и приведён в таблице.

Способ производства I II III IV Ресурсы А 2 4 1 Б 4 1 4 В 2 3 1 Количество выпускаемой в тече7 3 4 ние месяца продукции, тыс. ед.

Определить оптимальную производственную программу таким образом, чтобы выпуск единиц продукции был бы максимальным.

Задача 6. В хозяйстве производится зерно, кукуруза на силос и содержится крупный рогатый скот. Для выращивания сельскохозяйственных культур выделяется 10 тыс. га пашни, для содержания скота – 1 тыс. га естественных пастбищ, для производства всех работ – 200 тыс. человекодней трудовых ресурсов. На содержание одной коровы затрачивается человеко-дней труда и 40 кормовых единиц, при этом прибыль получается 460 рублей в год. Для корма используются естественные пастбища, а также может отводиться весь урожай кукурузы на силос и до 20 % валового сбора зерна. Остальные показатели производства приведены в таблице.

Наименование Коэффициент Урожай- Затраты трукультуры перевода на Прибыль ность с 1 га, да на 1 га, 1 кормовую с 1 ц, р.

ц чел.-дней ед.

Зерновые 20 2 1,1 Кукуруза на силос 400 20 0,2 Естественные паст5 – 0,5 – бища Требуется найти оптимальное сочетание производства продукции, дающее хозяйству максимальную прибыль.

Задача 7. Фирма производит три продукта: ротационные покрышки, корпуса подшипников и листовое железо. Управляющий столкнулся с проблемой составления наилучшего производственного плана на следующий месяц. Совместно со своими сотрудниками управляющий пришёл к следующей таблице данных на планируемый месяц.

Время на ед. Количество Цена ед. Максимальный Продукт продукции металла на ед. продукции прогнозируемый (ч) продукции (кг) спрос (шт.) Ротационные 2,5 3,25 30 покрышки Корпуса 1,0 1,50 32 подшипников 2,0 2,00 25 Листовое железо Было определено, что в планируемом месяце компания имеет не более 900 часов производственного времени и нет ограничений на поставки металла. Каждый час производственного времени будет стоить 7 тыс. р.

(оплата труда), а каждая единица металла – 2 тыс. р. Расчет за поставляемую продукцию производится в конце планируемого месяца. Объем свободных денежных средств (для закупок сырья и оплаты рабочего времени) на начало месяца составляет 14 960 тыс. р. Распределение продукции может быть осуществлено в течение этого же месяца.

Каким должен быть производственный план следующего месяца, максимизирующий прибыль § 2. Моделирование процессов смешивания 2.1. Типовые модели процессов смешивания Рассматривается проблема составления смесей из различных компонентов, обладающих заданным набором свойств. Среди всевозможных смесей необходимо найти смесь, обладающую заданными свойствами, согласующимися со свойствами компонентов, и имеющую минимальную стоимость.

Вид формализованной модели задачи составления оптимальных смесей зависит от типов переменных. Если в качестве переменных xj взять долю j-й компоненты в смеси, то модель запишется в виде n (1) x =1, j j=n (2) a xj Ri,i =1…m, ij j=a x b, j = 1…n, (3) j j j n (4) c xj min.

j j=Здесь i – порядковый номер свойств, которыми обладают компоненты и смесь, i =1…m; aij – величина i-го свойства для j-й компоненты; Ri – требование на величину i-го свойства для ед. смеси; (a,bj ) – интервал возможj ного включения j-й компоненты в смесь; cj – стоимость единицы j-й компоненты.

Если неизвестные сформулированы в виде: xj – объём вложений j-й компоненты в натуральном выражении, то ограничение (1) приведённой выше модели записывается в виде n j x = b, j=где b – общее количество смеси, которое должно быть получено.

В такие модели, как правило, также включаются ограничения (2–3).

Однако bj несёт иную смысловую нагрузку. Здесь bj – количество j-й компоненты, которое есть в наличии.

Если известны условия изготовления компонентов с учётом имеющихся для этой цели ресурсов, то возникает более сложная объединённая задача составления оптимальной смеси, для которой будут с наибольшим эффектом использованы ресурсы в производстве компонентов. Усложнение задачи может происходить и за счёт внесения в модель ограничений, связанных с условиями использования смесей. В качестве примера рассмотрим модель составления оптимальных схем внесения удобрений. Введём обозначения:

j – вид культуры, J – число всех видов культур;

i – вид смеси удобрений, I – число всех видов смесей;

q – способ внесения удобрений, Q – число всех способов внесения удобрений;

r – номер формы, в которой находится действующее вещество в удобрении (легко- или труднорастворимые);

Nr, Pr, Kr – количество азота, фосфора и калия r-й формы, имеющегося на предприятии;

Niqjr, Pijqr, Кijqr – количество действующего вещества азота, фосфора и калия r-й формы, необходимого для внесения по q-му способу в i-ю смесь под j-ю культуру на 1 га земли;

m – вид органического удобрения, M – число всех видов органических удобрений;

Hm – количество m-го вида органических удобрений, имеющихся на предприятии;

Hijqm – количество органического удобрения m-го вида, вносимое по q-му способу в i-ю смесь под j-ю культуру на 1 га земли;

Sjq – площадь посева под j-ю культуру, в которую можно внести удобрения по q-му способу;

aijq – логический коэффициент, равный 1, если можно внести i-ю смесь q-м способом под j-ю культуру, и равный 0 в противном случае;

Cijq – эффективность (прибыль), полученная при внесении i-й смеси q-м способом под j-ю культуру на 1 га земли;

xijq – число гектаров земли, отводимое под j-ю культуру с внесением i-й смеси удобрения q-м способом.

Получим следующую математическую модель:

I J Q cijqxijq max.

i=1 j=1 q=I l Q Азотные удобрения:

Nijqr xijq Nr.

i=1 j=1 q=I J Q Фосфорные удобрения:

Pijqr xijq Pr.

i=1 j=1 q=I J Q Калийные удобрения:

Kijqr xijq Kr.

i=1 j=1 q=I J Q Органические удобрения:

H xijq H, m = 1…M.

ijqm m i=1 j=1 q=I Площади: aijq xijq S, j = 1…J, q = 1…Q, jq i=xijq 0, i = 1…I, j = 1…J, q = 1…Q.

2.2. Задачи на закрепление приемов моделирования процесса смешивания Задача 1. Из четырёх видов основных материалов (медь, цинк, свинец, никель) составляют три вида сплавов латуни: обычный, специальный и для художественных изделий. Цены единицы веса меди, цинка, свинца и никеля составляют 0,8 р., 0,6 р., 0,4 р. и 1,0 р., а единицы веса сплава, соответственно, 2 р., 3 р., 4 р.

Сплав для художественных изделий должен содержать не менее 6 % никеля, не менее 50 % меди и не более 30 % свинца; специальный – не менее 4 % никеля, не менее 70 % меди, не менее 10 % цинка и не более 20 % свинца. В обычный сплав компоненты могут входить без ограничения.

Производственная мощность предприятия позволяет выпускать (за определённый срок) не более 400 ед. веса обычного сплава, не более ед. веса специального сплава и не более 100 ед. веса сплава для художественных изделий.

Найти производственный план, обеспечивающий максимальную прибыль.

Решение. Обозначим через xij долю i-й компоненты в j-й смеси. Тогда получим следующие ограничения модели:

x11 + x21 + x31 + x41 =1, x12 + x22 + x32 + x42 =1, (1) x13 + x23 + x33 + x43 =1.

Ограничения на количество компонентов в смесях:

x12 0,7; x22 0,1; x32 0,2; x42 0,04, (2) x13 0,5; x33 0,3; x43 0,06.

Требование неотрицательности переменных:

xij 0,i =1…4, j =1…3. (3) Целевая функция представляет собой сумму величин прибыли, получаемой с единицы веса каждого сплава:

2- 0,8×11 – 0,6×21 – 0,4×31 -1,0×31 + ( ) + 3-0,8×12 – 0,6×22 – 0,4×32 -1,0×42 + (4) () + 4- 0,8×13 -0,6×23 – 0,4×33 -1,0×43 max.

( ) Ограничения (1–3) и целевая функция (4) представляют собой модель для получения искомой информации.

Задача 2. Госпиталь стремится минимизировать стоимость мясного питания (говядина, свинина и баранина). Больничный рацион должен содержать, по крайней мере, 1,5 фунта жирного мяса на человека в неделю.

Говядина, которая стоит 1,25 доллара за фунт, содержит 20 % жирной и 80 % постной части. Свинина – 1,5 доллара за фунт и содержит 60 % жирной и 40 % постной части, баранина стоит 1,4 доллара за фунт и состоит из 30 % жирной и 70 % постной части. Госпиталь имеет холодильную площадь не более чем на 900 фунтов мяса. В госпитале на мясной диете 200 пациентов. Сколько фунтов каждого вида мяса необходимо покупать еженедельно для того, чтобы обеспечить необходимую калорийность рациона при минимальной стоимости Решение. Пусть xi – количество мяса i-го вида, закупаемого госпиталем. Тогда получим следующие ограничения модели. Ограничение на объем холодильной камеры:

x1 + x2 + x3 900. (1) Ограничение на калорийность рациона:

0,2×1 + 0,6×2 + 0,3×3 1,5. (2) () Требование неотрицательности переменных: xi 0,i =1…3.. (3) Целевая функция – минимизация расходов на закупки:

1,25×1 +1,5×2 +1,4×3 min. (4) Целевая функция (4) и ограничения (1–3) образуют искомую модель.

2.3. Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Потребность в азотных удобрениях составляет 10 млн т.

Их можно удовлетворить за счёт производства двух продуктов: аммиачной селитры и аммиачной воды. Для их производства необходим аммиак, общий расход которого для удовлетворения соответствующих нужд в плановом году не может превышать 8 млн т. Технологические нормы материальных затрат, удельные текущие расходы и капитальные вложения в производство каждого из продуктов даны в таблице.

Технологические Удельные капи- Себестоимость Химический пронормы затрат тальные вложе- единицы продукдукт аммиака, т/т ния, р./т та, р./т Аммиачная селитра 0,6 3,0 7,Аммиачная вода 1,0 6,0 6,Определить план производства селитры и аммиачной воды в плановом году, необходимых для удовлетворения потребности народного хозяйства в азотных удобрениях, с наименьшими суммарными затратами.

Решить задачу при знании нормативной эффективности капиталовложений 0,1.

Проследить, как отражаются на оптимальном плане изменения значений нормативной эффективности капиталовложений от 0,1 до 0,3.

Задача 2. Нефтеперерабатывающий завод получает 4 полуфабриката: 400 тыс. л алкилата, 250 тыс. л крекингбензина, 350 тыс. л бензина прямой перегонки и 100 тыс. л изопентона. В результате смешивания этих четырёх компонентов в разных пропорциях образуются три сорта авиационного бензина:

сорт А 2 : 3 : 5 : 2, сорт В 3 : 1 : 2 : 1, сорт С 2 : – : 1 : 3.

Стоимость 1 тыс. л указанных сортов бензина составляет соответственно 120 р., 100 р. и 150 р.

Определить план смешивания компонентов, при котором будет достигнута максимальная стоимость всей продукции.

Определить оптимальный план смешивания из условия максимального использования компонентов.

Задача 3. Компания по производству удобрений может произвести в текущем месяце 1400 т нитратов, 1600 т фосфатов и 1200 т поташа. Это количество имеется в распоряжении или уже заказано и не может быть получено в большем количестве, пока не пройдут следующие 30 дней. Необходимо определить способы смешивания активных ингредиентов с определёнными инертными ингредиентами, предложение которых не ограничено, в два основных удобрения, которые позволят максимизировать прибыли в текущем месяце.

Двумя основными удобрениями являются тип 1 (5 : 10 : 10) и тип (10 : 10 : 5). Числа в скобках представляют процентное отношение (по весу) нитратов, фосфатов и поташа соответственно (оставшуюся долю составляют инертные ингредиенты).

Цены ингредиентов показаны в таблице.

Ингредиенты удобрения Цена за тонну Нитраты Фосфаты Поташ Инертные удобрения Затраты смешения, упаковки и продажи одинаковы для обоих смесей и составляют 15 долларов за тонну. Цены на удобрения, по которым компания может их реализовать, в настоящее время составляют 50 долларов за тонну типа 1 и 55 долларов для типа 2.

Необходимо определить, сколько производить каждого типа смеси в этом месяце, чтобы максимизировать общую прибыль.

Задача 4. «Южная алкогольная корпорация» импортирует три сорта виски – ирландское, шотландское и канадское. Виски смешиваются согласно рецептам, устанавливающим максимум или минимум процентного содержания ирландского и канадского в каждой смеси.

Смесь Спецификация Цена на 1/5 галлона Old Oierhoul Не меньше 60 % ирландского 6,Не больше 20 % канадского Highband Spec Не больше 60 % канадского 5,Не меньше 15 % ирландского Young Frezy Не больше 50 % канадского 4,Стоимость и запасы трёх основных видов виски приведены в таблице.

Наличие виски, Стоимость 1/Виски 1/5 галлона в день галлона Ирландское 2000 Шотландское 2500 Канадское 1200 Составить модель, позволяющую определить, сколько производить каждого типа смеси, чтобы получить максимальную прибыль.

Задача 5. Животноводческая ферма имеет возможность закупать корма 4-х видов по различным ценам. В кормах содержатся питательные вещества 3-х видов, необходимые для кормления коров. Требуется составить еженедельный рацион кормления коровы, обеспечивающий с минимальными затратами нормы содержания питательных веществ.

Данные, необходимые для составления рациона, приведены в таблице.

Содержание веществ в кормах указано в килограммах на тонну.

Корма Нормы содержания веществ (в кг) в ежеКорм 2 Корм 3 Корм Корм недельном рационе Вещества коровы А 20 40 60 10 Не менее В 30 10 0 20 Не менее 3, не более С 50 90 40 60 Не менее 8, не более Цена 1 т корма 180 200 250 в р.

Вопросы 1. Какое количество корма 1 следует закупить (в кг) для составления еженедельного рациона кормления коровы 2. Какое количество корма 4 следует закупить (в кг) для составления еженедельного рациона кормления коровы 3. Какой общий вес еженедельного рациона коровы (в кг) 4. Каковы минимальные затраты на покупку кормов для еженедельного рациона одной коровы (в р.) 5. На сколько возрастут затраты, если еженедельный рацион должен содержать не менее 6 кг вещества А 6. До какой величины должна возрасти цена на корм 4, чтобы использование этого корма оказалось невыгодным Задача 6. В аптеке продаются поливитамины пяти наименований.

Каждый поливитамин содержит витамины и вещества, наиболее важные для Павла Кутикова, перенесшего простудное заболевание. Необходимо определить, какие поливитамины и в каком количестве следует принимать Павлу для восстановления нормальной работоспособности. В следующей таблице указаны (в мг) количества витаминов и веществ, которые должен получить Павел за весь курс лечения. Таблица также содержит данные о содержании (в мг на 1 г) витаминов и веществ в поливитаминах и цены в рублях за 1 г поливитаминов.

Витамины Поливит. Поливит. Поливит. Поливит. Поливит. Необхо1 2 3 4 5 димо А 1,1 1,2 1,8 1,1 1,3 В 0,9 1,1 0,7 1 1,1 С 50 60 40 30 60 Железо 24 45 18 12 37 Кальций 210 340 150 260 300 Цена 3,4 4,3 2,4 2,2 3, Определите, какие поливитамины следует принимать, чтобы с минимальными затратами пройти курс лечения.