Фермер для кормления животных использует два вида корма 6 и 12 единиц
Вариант № 2.
Задача № 1. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.
Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества и не менее 12 единиц питательного вещества . Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?
Решение:
1. Введем переменные:
– количество корма 1;
– количество корма 2.
2. Зададим целевую функцию. Задача на минимизацию затрат. Запишем уравнение, описывающее затраты
3. Ограничения:
Найдем решение сформированной задачи, используя ее геометрическую интерпретацию. Сначала определим область допустимых решений. Для этого в неравенствах системы ограничений знаки неравенств заменим на знаки точных равенств, и найдем соответствующие прямые:
Выразим через
Для построения прямой достаточно двух точек, найдем их координаты:
Эти прямые изображены на рисунке 1. Условие неотрицательности показывает, что искомая область располагается в первой четверти.
Каждая из построенных прямых делит плоскость на две полуплоскости. Координаты точек одной полуплоскости удовлетворяют исходному неравенству, а другой – нет. Чтобы определить искомую полуплоскость, нужно взять какую-нибудь точку, принадлежащую одной из полуплоскостей, и проверить, удовлетворяют ли ее координаты данному неравенству. Если координаты взятой точки удовлетворяют данному неравенству, то искомой является та полуплоскость, которой принадлежит эта точка, в противном случае – другая полуплоскость.
Рисунок 1. Графический метод решения
На рисунке 1, область допустимых решений не ограничена и отмечена штрихом. Координаты любой точки, принадлежащей этой области, удовлетворяют данной системе неравенств и условию неотрицательности переменных. Поэтому сформулированная задача будет решена, если мы сможем найти точку, принадлежащую области допустимых решений, в которой целевая функция принимает минимальное значение. Чтобы найти указанную точку, построим вектор и линию уровня, которая перпендикулярна этому вектору.
Так как задача на минимум, то линию уровня будем двигать по направлению вектора. Первая точка касания и будет оптимальным решением. Координаты этой точки и определяют оптимальные количества кормов и , при которых ежедневные затраты на кормление одного животного являются минимальными.
В данном примере это точка пересечения прямых I и Следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых
Следовательно, если совхоз для кормления животных будет использовать 2 кг корма 1 и 2 кг корма 2, то минимальные затраты составят
Если данную задачу решать на максимум, то линия уровня будет сдвигаться вправо до бесконечности (так область решений не ограничена). Таким образом, конечного решения не будет.
Задача № 2. Предложить оптимальное управленческое решение в следующих типовых хозяйственных ситуациях.
В обработку поступили две партии досок для изготовления комплектов из трех деталей (треугольные каркасы настилов на стройплощадку), причем первая партия содержит 52 доски длиной по 6,5 м каждая, вторая содержит 200 досок длиной по 4 м каждая. Каждый комплект состоит из двух деталей по 2 м каждая и одной детали в 1,25 м.
Ставится задача поиска рационального варианта раскроя поступившего в обработку материала.
Решение:
Критерием оптимальности в данной задаче будет максимум выпуска комплектной продукции. Построим возможные способы раскроя исходного материала:
Введем необходимые обозначения: – число досок из партии , которое следует раскроить способом. Рассмотрим соотношения:
Обозначим через – минимальное из этих соотношений (это и будет количество комплектной продукции). Следовательно, экономико-математическая модель примет вид:
– Целые неотрицательные. Для удобства записи заменим двухиндексные переменные на одноиндексные переменные так как это показано в таблице раскроя Тогда ЭММ задачи примет вид:
При ограничениях:
Реализуя приведенную модель в любом пакете прикладных программ, получим решение:
Оптимальные значения остальных переменных равны нулю. Следовательно, в данной хозяйственной ситуации максимальное количество наборов, равное 215 шт. можно изготовить и реализовать, если:
– раскроить каждую из 15 досок длиной 6,5 м на 2 детали по 2 м и 2 детали по 1,25 м;
– раскроить каждую из 37 досок длиной 6,5 м на 5 деталей по 1,25 м;
– раскроить каждую из 200 досок длиной 4 м на 2 детали по 2 м. В этом случае будет получена максимальная выручка.
Задача № 3. Провести моделирование и решить специальную задачу линейного программирования.
Компания, занимающаяся ремонтом автомобильных дорог, в следующем месяце будет проводить ремонтные работы на пяти участках автодорог. Песок на участки ремонтных работ может доставляться из трех карьеров, месячные объемы предложений по карьерам известны. Из планов производства ремонтных работ известны месячные объемы потребностей по участкам работ. Имеются экономические оценки транспортных затрат (в у. е.) на перевозку 1тонны песка с карьеров на ремонтные участки.
Числовые данные для решения содержатся ниже в Матрице планирования. Требуется:
1) Предложить план перевозок песка на участки ремонта автодорог, который обеспечивает минимальные совокупные транспортные издержки.
2) Что произойдет с оптимальным планом, если изменятся условия перевозок: а) появится запрет на перевозки от первого карьера до второго участка работ?; б) по этой коммуникации будет ограничен объем перевозок 3 тоннами?
Матрица планирования:
Решение:
Суммарные объемы предложений по карьерам равны суммарным объемам потребностей по участкам работ, т. е. выполняется условие общего баланса Следовательно, данная задача закрытого типа.
Построим начальный базисный план Методом минимальной стоимости. Назначение перевозок начинаем с клетки (1,5), имеющей минимальную стоимость перевозки (1). В клетку (1,5) записываем наименьшее из значений и и исключаем из дальнейшего рассмотрения пятый участок. Корректируем предложение первого карьера на величину
Следующая поставка осуществляется от второго карьера третьему участку. В клетку (2,3) назначаем перевозку исключаем из дальнейшего рассмотрения третий участок. Корректируем предложение второго карьера С оставшейся матрицей поступаем аналогично предыдущему:
План перевозок, построенный методом минимальной стоимости:
Построенный начальный план перевозок является вырожденным, так как число назначенных перевозок меньше В одну из свободных клеток поставим ноль. Определим полную стоимость перевозок по найденному опорному плану:
Определим оптимальность полученного плана. С помощью Метода потенциалов вычислим потенциалы строк и столбцов по стоимости перевозок в загруженных клетках. Если известен , то если известен , то Положим, например, Тогда будут вычислены и остальные потенциалы строк и столбцов.
Для незагруженных клеток вычислим величины превышения стоимости
Полученный план не оптимален. Среди оценок имеется отрицательное значение. Потенциальной является клетка . От клетки строим замкнутый контур: Начиная с клетки разметим вершины контура попеременно знаками плюс «+», минус «-», обходя замкнутый контур в любом направлении. Из клеток, помеченных знаком «-», выбираем наименьшее значение объема перевозки Сформируем новый улучшенный план: на 100 увеличим перевозки в клетках, помеченных знаком «+», и уменьшим в клетках, помеченных знаком «-».
Определим полную стоимость перевозок по новому плану
Вычислим потенциалы и величины превышения стоимости для незагруженных клеток:
Полученный план не оптимален. Среди оценок имеется отрицательное значение. Потенциальной является клетка . От клетки строим замкнутый контур: Выбираем наименьшее значение объема перевозки Сформируем новый улучшенный план: на 0 увеличим перевозки в клетках, помеченных знаком «+», и уменьшим в клетках, помеченных знаком «-».
Определим полную стоимость перевозок по новому плану
Вычислим потенциалы и величины превышения стоимости для незагруженных клеток:
Характеристики свободных клеток не отрицательны, следовательно, текущий план оптимален.
Выясним, что произойдет с оптимальным планом, если появится запрет на перевозки от первого карьера до второго участка работ. В этом случае, будем считать, что транспортные затраты на перевозку от первого карьера до второго участка работ бесконечно большая . Составим начальный план методом минимальной стоимости в столбце.
Построенный начальный план перевозок является невырожденным, так как число назначенных перевозок равно Определим полную стоимость перевозок по найденному опорному плану:
Определим оптимальность полученного плана с помощью Метода потенциалов.
Для незагруженных клеток вычислим величины превышения стоимости
Характеристики свободных клеток не отрицательны, следовательно, текущий план оптимален. Таким образом, при запрете на перевозку с первого карьера на второй участок, транспортные расходы вырастут на
Выясним, что произойдет с оптимальным планом, если перевозка от первого карьера до второго участка работ будет ограничена объемом 3 тонны. Составим начальный план произвольным образом, учитывая данное ограничение.
Построенный начальный план перевозок является невырожденным, так как число базисных клеток (без ограничений на перевозку) равно Определим полную стоимость перевозок по найденному опорному плану:
Определим оптимальность полученного плана с помощью Метода потенциалов.
Для незагруженных клеток вычислим величины превышения стоимости
Полученный план не оптимален. Среди оценок имеются отрицательные значения. Потенциальной является клетка . От клетки строим замкнутый контур: Выбираем наименьшее значение объема перевозки Сформируем новый улучшенный план.
Определим полную стоимость перевозок по найденному опорному плану:
Для незагруженных клеток вычислим величины превышения стоимости
Полученный план не оптимален. Среди оценок имеются отрицательные значения. Потенциальной является клетка . От клетки строим замкнутый контур: Выбираем наименьшее значение объема перевозки Сформируем новый улучшенный план.
Определим полную стоимость перевозок по найденному опорному плану:
Для незагруженных клеток вычислим величины превышения стоимости
Характеристики свободных клеток не отрицательны (кроме клетки с ограничением), следовательно, текущий план оптимален. Таким образом, при ограничении на перевозку с первого карьера на второй участок тремя тоннами, транспортные расходы вырастут на
Задача № 4. Рассчитать характеристики системы массового обслуживания. Поток требований является простейшим (пуассоновским), а продолжительность обслуживания распределена по экспоненциальному закону.
На строительном участке в инструментальной мастерской работают 3 мастера. Если рабочий заходит в мастерскую, когда все мастера заняты обслуживанием ранее обратившихся работников, то он не уходит из мастерской и ожидает обслуживания. Статистика показала, что среднее число рабочих, обращающихся в мастерскую в течение часа, равно 4, среднее время, которое затрачивает мастер на заточку или ремонт инструмента, равно 10 мин. Рассчитайте основные характеристики работы данной мастерской как СМО с ожиданием.
Решение:
Имеем
Тогда интенсивность обслуживания равна
Интенсивность нагрузки равна
Поскольку
Очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. Находим вероятности состояний:
Число занятых каналов найдем, разделив абсолютную пропускную способность СМО на интенсивность обслуживания
Вероятность отсутствия очереди будет:
Среднее число рабочих в очереди:
Среднее число рабочих в мастерской:
Среднее время ожидания в очереди:
Среднее время пребывания рабочего в мастерской:
Источник
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ
Вариант №2
Брянск – 2009
ЗАДАЧА 1
Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:
Корма Питат. вещества Количество питательных веществ в 1 кг корма12А В2 21 4Цена 1 кг корма, т.руб.0,20,3
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?
Решение. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования. Обозначим виды кормов через х1 и х2. Целевой функцией задачи является общая стоимость кормов, затраченных на кормление животных, которая должна быть наименьшей. Число ограничений задачи равно числу питательных веществ, входящих в состав кормов – 2. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Зная цены кормов, содержание питательных веществ в них можно сформулировать математическую модель задачи линейного программирования:
Строим область допустимых решений задачи (см. рис.1).
Область допустимых решений задачи
Строим вектор-градиент целевой функции задачи. За его начало принимаем точку с координатами, равными коэффициентам целевой функции по соответствующим координатным осям 0,2 (1; 1,5), тогда концом вектора-градиента будет являться точка с координатами (0; 0). Перпендикулярно вектору-градиенту строится прямая, которая характеризует поведение целевой функции:
Для определения положения точки минимума целевой функции прямая, перпендикулярная вектору-градиенту, смещается в его направлении до тех пор, пока она не покинет область допустимых решений. Предельная точка области допустимых решений при этом движении и является точкой минимума.
В нашей задаче – это точка В, образованная пересечением граничных прямых ограничений I и II. Ее координаты определяются решением системы
уравнений этих прямых:
откуда x1*=2; x2*=2 и .
Таким образом, чтобы достичь минимальных затрат, следует расходовать ежедневно на одного животного по 2 кг каждого вида корма при затратах в 1 тыс. руб.
Решение данной задачи линейного программирования на максимум лишено экономического смысла, так как затраты на корм стремятся уменьшить. Однако математически эта задача имеет решение и на максимум: наибольшее значение в области допустимых решений целевая функция принимает в точке (0; 6), и это значение равно
.
рис. 1 – Графическое решение задачи линейного программирования
ЗАДАЧА 2
Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
Тип сырьяНормы расхода сырья на одно изделиеЗапасы сырьяАБВГI II III1 0 40 1 22 3 01 2 4180 210800Цена изделия9647
Требуется:
1)Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2)Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3)Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4)На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
-проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
-определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;
-оценить целесообразность включения в план изделия “Д” ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Решение.1. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования.
Обозначим количество выпускаемых изделий х1, х2, х3, х4.
Целевой функцией задачи является общая стоимость выпускаемой продукции, которая должна быть наибольшей. Число ограничений задачи равно числу ресурсов, используемых для изготовления изделий – 3.
Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных.
Зная цены изделий, нормы их расхода и запасы ресурсов, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:
Задачу оптимизации решаем с помощью надстройки «Поиск решения» табличного процессора EXCEL (меню «Сервис»):
рис. 2 – Надстройка «Поиск решения»
Использование надстройки позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий: Х*=(95; 210; 0; 0). Целевая функция имеет наибольшее для данных условий задачи значение f(X*)=2115 (прил. 1).
Таким образом, для получения наибольшей выручки от реализации продукции следует производить x1*=95 изделий А, x2*=210 изделий Б и не производить изделия В (x3*=0) и Г (х4*=0).
2. Обозначим двойственные оценки ресурсов I, II, III как y1, y2, y3 соответственно. Целевой функцией двойственной задачи является общая стоимость запасов ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи равно числу переменных исходной задачи – 4. Математическая модель двойственной задачи имеет вид:
При решении исходной задачи с помощью EXCEL одновременно определяется и оптимальное решение двойственной задачи. В «Отчете по устойчивости» (прил. 2) приводятся теневые цены ресурсов: y1*=0; y2*=1,5; y3*=2,25.
Наименьшее значение целевой функции двойственной задачи
совпадает с наибольшим значением целевой функции исходной задачи f(X*). Следовательно, оптимальный план двойственной задачи определен верно.
3. Выпуск изделий В и Г невыгоден для данных условий задачи. Это объясняется тем, что затраты по ним превышают цену на 0,5 и 5 соответственно:
Таким образом, выпуск изделий В и Г убыточен и поэтому эти изделия не вошли в оптимальный план (x3*=0) и (х4*=0).
4. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане. Для этого подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального плана Х*=(95; 210; 0; 0) и проверим выполнение неравенств:
Видно, что ресурсы II и III используются в оптимальном плане полностью и являются дефицитными, т.е. сдерживающими рост целевой функции. Они имеют отличные от нуля оценки y2*=1,5 и y3*=2,25.
Увеличение объема ресурса II на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту наибольшей выручки на 1,5 руб., а увеличение объема ресурса III на единицу – на 2,25 руб.
Ресурс I имеет нулевую двойственную оценку (y1*=0) и является недефицитными, т. е. избыточным в оптимальном плане. Увеличение объемов этого ресурса не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и не увеличит ее общую стоимость.
Определим, насколько изменится выручка выпускаемой продукции при заданных изменениях запасов сырья. Из «Отчета по устойчивости» видно, что эти изменения происходят в пределах устойчивости (см. «Допустимое увеличение»и«Допустимое уменьшение» правых частей ограничений в прил. 2), что дает возможность сразу рассчитать изменение наибольшей выручки от реализации выпускаемой продукции, не решая новую задачу линейного программирования:
При этом «новая» наибольшая выручка составит:
руб.
Изменение запасов ресурсов привело не только к изменению значения целевой функции на 540 тыс. руб., но и к изменению плана выпуска. При этом структура плана не изменилась: изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, т.к. цены на сырье не изменялись. Новый план выпуска составляет 75 единиц изделий А и 330 ед. изделий Б.
Для определения целесообразности включения в план выпуска еще и изделия Д с заданными характеристиками, рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ц
Источник
