Человек переходит с кормы на нос на какое расстояние

На
спокойной воде пруда стоит лодка длиной L и массой М перпендикулярно берегу, обращенная
к нему носом. На корме стоит человек массой т. На какое расстояние s приблизится
лодка к берегу, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Трением о воду и воздух
пренебречь.

Решение. 
1-й способ. Для простоты решения будем считать, что человек идет по лодке
с постоянной скоростью. Лодка в этом случае также будет двигаться равномерно.
Поэтому перемещение лодки относительно берега определим по формуле s=vt 
(1)

где
v — скорость лодки
относительно берега; t — время движения
человека и лодки. Направление перемещения человека примем за положительное.

Скорость
v лодки найдем, пользуясь законом сохранения импульса *
(количества движения). Так как, по условию задачи, система человек — лодка
в начальный момент была относительно берега в покое, то по закону сохранения
импульса получим Mv— mu=0,
где и — скорость человека относительно берега; знак минус указывает
на то, что скорости человека и лодки по направлению противоположны. Отсюда
v=mu/M.

Время
t движения лодки равно времени перемещения человека по лодке, т. е. t:=s1/u=(L—s)/u, где s1 — перемещение
человека относительно берега.

Подставив
полученные выражения v и t в формулу
(1), найдем

откуда

s=mL/(m+M).

Заметим,
что предположение о равномерности движения человека не является обязательным.
В приведенном ниже более общем способе решения задачи такое предположение не используется.

2-й
способ. Согласно следствию из закона
сохранения импульса, внутренние силы системы тел не могут изменить положение центра
тяжести ** системы. Применяя это следствие к системе человек — лодка, можно считать,
что при перемещении человека

* В данном случае систему человек — лодка можно считать замкнутой,
так как векторная сумма внешних сил, действующих на отдельные тела системы, равна
нулю.

** Точнее было бы говорить о центре масс (центре
инерции системы). Но в том случае, когда система твердых тел находится в однородном
ноле силы тяжести, центр масс и центр тяжести совпадают.

по
лодке центр тяжести системы не изменит своего положения, т. е. останется на прежнем
расстоянии от берега.

Пусть
центр тяжести системы человек — лодка находится на вертикали, проходящей в начальный
момент через точку C1 лодки (рис.
2.6), а после перемещения лодки—через другую ее точку С2.
Так как эта вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение s лодки
относительно берега равно перемещению лодки относительно вертикали. А это последнее
легко определить по перемещению центра тяжести О лодки. Как видно из

const

Рис. 2.6

рис.
2.6, в начальный момент точка О находится слева от вертикали на расстоянии a1, а после перехода человека — на расстоянии a2 справа от нее. Следовательно, искомое перемещение лодки
s=a1+a2. (2)

Для
определения a1 и a2 воспользуемся тем, что относительно
центра тяжести системы моменты сил тяжести лодки и человека должны быть равны.
Для точки C1 имеем Mga1=mg(l
— a1), где l — первоначальное расстояние человека от центра тяжести
лодки. Отсюда получим а1=тl/(М+т}. Для точки С2
имеем Mga2=mg(L-a2-l), откуда a2=m(L—l)/(М+т).

Подставив
выражения a1 и а2, в формулу (2), получим

s=mL/(M+m),

что
совпадает с результатом, полученным первым способом.